树、二叉树、完全/满/平衡二叉树的理解与对比

一、树

树是一种重要的非线性数据结构,直观地看,它是数据元素(在树中称为结点)按分支关系组织起来的结构,很像自然界中的树那样。树型结构也是信息的重要组织形式之一,一切具有层次关系的问题都可用树来描述。

1.1、相关概念

  • 路径:顺着节点的边从一个节点走到另一个节点,所经过的节点的顺序排列就称为路径;

  • :树顶端的节点称为根,一棵树只有一个根,如果要把一个节点和边的集合称为树,那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径;

  • 父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;

  • 子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;

  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;

  • 叶节点:没有子节点的节点称为叶节点,也叫叶子节点;

  • 子树:每个节点都可以作为子树的根,它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中;

  • 节点的层次:从根开始定义,根为第一层,根的子节点为第二层,以此类推;

  • 深度:对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长,根的深度为0;

  • 高度:对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长,所有树叶的高度为0;

  • 森林:0个或多个不相交的树组成,对森林加上一个根,森林即成为树;删去根,树即成为森林;

  • 节点的度:节点拥有的子树的数目;

  • 树的度:树中节点的最大的度;

  • 叶子节点:度为零的节点;
  • 分支节点:度不为零的节点;
  • 层次:根节点的层次为1,其余节点的层次等于该节点的双亲节点的层次加1
  • 树的高度:树中节点的最大层次;
  • 无序树:树中节点的各子树之间的次序是不重要的,可以交换位置;
  • 有序树:树中节点的各子树之间的次序是重要的,不可以交换位置;

1.2、定义

  • 树是由一个或多个节点组成的有限集合;
  • 树中必有一个特定的称为根的节点;
  • 剩下的节点被分成 n>=0 个互不相交的集合T1T2、…Tn,并且这些每个集合又都是一个树。树T1T2、…Tn被称作根的子树;

1.3、特点

  • 对比二叉树
    • 树中节点的最大度数(节点的分叉)没有限制,而二叉树节点的最大度数(节点的分叉)数量为2;
    • 树的节点无左、右之分,而二叉树的节点有左、右之分;

1.4、表示方法

树的表示方法有许多,常用的方法是用括号

  • 先将根结点放入一对圆括号中,然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中,而对子树也采用同样的方法处理;
  • 同层子树与它的根节点用圆括号括起来,同层子树之间用逗号隔开,最后用闭括号括起来;

1.5、示例图

树

如上图可使用括号表示法写成:(A(B(E,F),C(G),D(H,M)))

二、二叉树

二叉树(Binary Tree)是包含n个节点的有限集合,当n为零时该集合为空集,或者该集合由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

2.1、定义

  • 树中每个节点最多有两个子树,不存在度(分叉)大于2的节点;
  • 子树有左右之分,次序不能颠倒;

2.2、基本形态

  • 空二叉树

  • 只有一个根结点的二叉树

  • 只有右子树

  • 只有左子树

  • 完全二叉树:除了树的最后一层外,其他的节点既有左子树又有右子树;

2.3、示例图

二叉树

三、完全二叉树

对于深度为 $k$ ,有 $n$ 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为 $k$的满二叉树中编号从1n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

3.1、定义

  • 符合二叉树的定义规则;
  • 除二叉树的最高层h外,其它各层 (1h-1) 的节点数都达到最大个数;
  • h层有叶子结点,并且叶子结点都是从左到右依次排布;

3.2、示例图

完全二叉树

四、满二叉树

一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为 $k$,且结点总数是 $2^k -1$ ,则它就是满二叉树。

4.1、定义

  • 符合完全二叉树的定义;
  • 每个节点都有左右子叶并且叶子节点都处于最底层;

4.2、特点

  • 满二叉树一定是平衡二叉树,平衡二叉树不一定是满二叉树;

4.3、示例图

满二叉树

五、平衡二叉树(AVL树)

平衡二叉树(又称平衡二叉查找树),由前苏联的数学家 Adelse-VelskilLandis1962年提出的高度平衡的二叉树,根据科学家的英文名也称为 AVL树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树AVL替罪羊树Treap伸展树等。

最小二叉平衡树的节点的公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1,这个类似于一个递归的数列,可参考Fibonacci数列,公式解释为:

  • 1是根节点;
  • F(n-1)是左子树的节点数量;
  • F(n-2)是右子树的节点数量;

5.1、特点

  • 可以为空树;
  • 左右子树的高度相差不超过 1平衡因子的绝对值不超过1)的树,并且左右子数都是一个平衡二叉树;

5.2、平衡因子

  • -1:表示左子树比右子树高;
  • 0:表示右子树比左子树高;
  • 1:表示左子树和右子树等高;

5.3、示例图

平衡二叉树

5.4、失衡调整

平衡二叉树调整后,它的中序遍历的顺序是不会改变的。

5.4.1、插入时的失衡调整

所有的不平衡情况中,都是按照寻找最小不平衡树 => 寻找所属的不平衡类别 => 根据4种类别进行固定化程序的操作

5.4.1.1、LL型调整(左子树过高)
  • 首先找到最小不平衡的子树,再以其根节点向右旋转(向右旋转后相当于右面的子数的树高加1,而左面的子数的树高减1);
  • 旋转之后源根节点的左孩子作为新的根节点,原来根节点的左孩子作为新的根节点
  • 中序遍历对比:调整前:123;调整后:123

LL型调整

5.4.1.2、RR型调整(右子树过高)
  • 首先找到最小不平衡的子树,再以其根节点向左旋转(向右旋转后相当于左面的子数的树高加1,而右面的子数的树高减1);
  • 旋转之后源根节点的右孩子作为新的根节点,原来根节点的右孩子作为新的根节点
  • 中序遍历对比:调整前:123;调整后:123

RR型调整

5.4.1.3、LR型调整(左子树过高)
  • 以较高子树的根节点为中心向左进行旋转(示例图中为左子树较高,左子树的根为节点1),可以理解成先转换为LL型

  • 以原根节点为中心,向右旋转(实例图中以节点3为中心,向右旋转);

  • 调整之后,原来根节点的左孩子的右孩子作为新的根节点

  • 中序遍历对比:调整前:123;调整后:123

LR调整

5.4.1.4、RL型调整(右子树过高)
  • 以根节点的右孩子为中心向右进行旋转(示例图中为右子树较高,右子树的根为节点3),可以理解成先转换为RR型

  • 以原根节点为中心,向右旋转(示例图中以节点1为中心,向左旋转);

  • 调整之后,原来根节点的右孩子的左孩子作为新的根节点

  • 中序遍历对比:调整前:123;调整后:123

RL调整

5.4.2、删除时的失衡调整

5.4.2.1、LE型(左子树过高)
  • 以下初始场景只会在删除时才会出现,删除后可按照LL型的调整策略进行调整;

LE调整

5.4.2.2、RE型(右子树过高)
  • 以下初始场景只会在删除时才会出现,删除后可按照RR型的调整策略进行调整;

RE调整

六、数据对比

种类 第 $n$ 层的节点数 深度为 $n$ 的树节点数 节点数为 $n$ 的树的高度
二叉树 $2^{n-1}$ (最多) $2^n-1$ (最多) $\log_2(n+1)$ (最少)
完全二叉树 $2^{n-1}$ (最多) $2^n-1$ (最多)
满二叉树 $2^{n-1}$ $2^n-1$ $\log_2(n+1)$
平衡二叉树 $2^{n-1}$ (最多),1 (最少) $2^n-1$ (最多),$2^{n-1}-1+1$ (最少)
Author: bugwz
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